Teoría del Caos: Una "Breve" Introducción, parte I

¿Qué es exactamente el caos?. El nombre de “Teoría del Caos” viene del hecho de que los sistemas que describe la teoría están aparentemente desordenados, pero la Teoría del Caos en verdad busca el orden subyacente en los datos aparentemente aleatorios.

¿Cuándo se hizo el primer descubrimiento del Caos?. El primer verdadero científico del Caos fue un meteorólogo, llamado Edward Lorenz. En 1960, estaba trabajando en el problema de la predicción del tiempo. Tenía su ordenador configurado con un conjunto de doce ecuaciones para modelar el clima. No predecía el clima él mismo, sin embargo este programa de ordenador teóricamente predecía qué tiempo podría hacer.

Un día en 1961, quería ver una secuencia en particular de nuevo. Para ganar tiempo, comenzó a mitad de la secuencia, en lugar de en el principio. Introdujo los números de su copia impresa y lo dejó ejecutando.

Cuando volvió una hora más tarde, la secuencia había evolucionado de forma distinta. En lugar de obtener el mismo patrón de antes, divergía del patrón original finalizando de una forma muy distinta. (Ver figura 1.). Finalmente comprendió lo que había sucedido. El ordenador almacenó seis decimales en su memoria. Al guardarlo en papel, sólo imprimió tres decimales. En la secuencia original, el número era 0,506127, y sólo había escrito los tres primero dígitos, 0,506.

Según todas las ideas convencionales de aquella época, debería haber funcionado. Debería haber obtenido una secuencia muy cercana a la secuencia original. Un científico podía considerarse afortunado si era capaz de conseguir medidas con una precisión de 3 decimales. Seguramente el cuarto y el quinto, imposibles de medir usando métodos razonables, no podían tener un gran efecto en el resultado del experimento. Lorenz probó que esta idea era errónea.

Este efecto comenzó a conocerse como efecto mariposa. La diferencia entre los puntos iniciales de las dos curvas era tan pequeña que podía compararse a una mariposa batiendo sus alas.

El batir de las alas de una simple mariposa hoy produce un minúsculo cambio en el estado de la atmósfera. Durante un periodo de tiempo, la atmósfera en efecto divergiría de lo que habría hecho. Por tanto, en el tiempo de un mes, un tornado que habría devastado la costa de Indonesia no tuvo lugar. O puede que si no fuese a suceder, lo hiciera. (Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados? Las Matemáticas del Caos, página 141)

Este fenómeno, común en la Teoría del Caos, es también conocido como dependencia sensible de las condiciones iniciales. Solo un pequeño cambio en las condiciones iniciales puede cambiar drásticamente el comportamiento a largo plazo de un sistema. Esta pequeña diferencia en la medida podría ser considerada como ruido experimental, ruido de fondo o una inexactitud del equipo. Tal tipo de cosas son imposibles de eliminar incluso en los laboratorios más aislados. Empezando con un valor de 2, el resultado final puede ser completamente distinto para el mismo sistema con un valor inicial de 2,000001. Es simplemente imposible alcanzar este nivel de precisión – ¡sólo intenta medir algo que es cerca de una millonésima de pulgada!.

A partir de esta idea, Lorenz indicó que era imposible predecir el clima de forma precisa. Sin embargo, este descubrimiento llevó a Lorenz a otros aspectos que más tarde serían conocidos como Teoría del Caos.

Lorenz comenzó a buscar un sistema más simple que tuviese dependencia sensible de las condiciones iniciales. Su primer descubrimiento tenía doce ecuaciones, y él quería una versión mucho más simple que aún conservara este atributo. Tomó las ecuaciones de la convección, las desarmó y las hizo increíblemente simples. El sistema no tenía nada que ver con la convección, pero tenía las mismas dependencias sensibles de las condiciones iniciales, y solo tenía tres ecuaciones esta vez. Más tarde, se descubrió que sus ecuaciones describían de forma precisa un remolino de agua.

Desde arriba, el agua cae sin cesar en contenedores que cuelgan sobre el borde del remolino. Cada contenedor gotea constantemente a través de un pequeño agujero. Si la corriente de agua es lenta, el contenedor de arriba nunca llenará lo bastante rápido para superar la fricción, pero si la corriente es más rápida, el peso comenzará a girar el remolino. La rotación puede volverse continua. O si la corriente es tan rápida que los contenedores pesados se balancean en el otro sentido, el remolino entonces se hará más lento, para, e invierte su rotación, girando primero en un sentido y luego en otro. (James Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página. 29)

Las ecuaciones para este sistema también parecían dar un comportamiento completamente aleatorio. Sin embargo, cuando realizó los gráficos, sucedió algo sorprendente. La salida siempre permanecía en una curva, una espiral doble. Había solo dos clases de órdenes previamente conocidos: el estado fijo, en el que las variables nunca cambian, y el comportamiento periódico, en el que el sistema entra en un bucle, repitiéndose de forma indefinida. Las ecuaciones de Lorenz definitivamente tenían un orden – siempre seguían una espiral. No se podía situar un punto simple, pero dado que no se repetía lo mismo, tampoco eran periódicas. A la imagen que obtuvieron al trazar el gráfico de las ecuaciones la llamaron atractor de Lorenz. (Ver figura 2)

En 1963, Lorenz publicó un artículo describiendo lo que había descubierto. Incluyó la impredicibilidad del clima, y discutió los tipos de ecuaciones que causaban este tipo de comportamiento. Por desgracia, la única revista en la que estaba capacitado para publicar era una revista de meteorología, ya que era un meteorólogo, no un matemático ni un físico. Como resultado, los descubrimientos de Lorenz no obtuvieron su reconocimiento hasta años más tarde, cuando se redescubrieron por otros. Lorenz había descubierto algo revolucionario; ahora tenía que esperar a que alguien lo descubriese a él.

Otro sistema en el que la dependencia sensible de las condiciones iniciales es evidente es en el lanzamiento de una moneda. Hay dos variables en el lanzamiento de una moneda: el tiempo que tarda en golpear el suelo, y la velocidad a la que es lanzada. Teóricamente, debería ser posible controlar estas variables completamente y controlar cómo terminará la moneda. En la práctica, es imposible controlar exactamente la velocidad a la que se lanza la moneda y la altura que alcanza. Es posible poner las variables dentro de un cierto rango, para es imposible controlarlo lo suficiente como para conocer el resultado final del lanzamiento de la moneda.

Un problema similar tiene lugar en la ecología, y la predicción de las poblaciones biológicas. La ecuación sería simple si la población sólo creciera de forma indefinida, pero los efectos de los predadores y un suministro de alimento limitado hacen esta ecuación incorrecta. La ecuación más simple que tiene esto en cuenta es la siguiente:

Población del año siguiente = r * población de este año * (1 – población de este año)

En esta ecuación, la población es un número entre 0 y 1, donde 1 representa el máximo de población posible y el 0 la extinción. R es la tasa de crecimiento. La pregunta era, ¿Cómo afectan estos parámetros a la ecuación?. La respuesta obvia es que una mayor tasa de crecimiento implica que un aumento en la población, mientras que una menor tasa de crecimiento decrementará el número. Esta tendencia es cierta para algunas tasas de crecimiento, pero no para todas ellas.